1. Einleitung PIC1
Der Halm einer Kornpflanze, der vom Wind angeblasen wird, knickt deshalb nicht um, weil er elastisch zurückweicht und, wenn der Wind etwas nachlässt, Schwingungen ausführt. Hat die Natur dies zufällig so gestaltet oder steckt da ein Prinzip dahinter, das auf den ersten Blick nicht erkennbar ist?
Schwingungen begegnen uns im täglichen Leben an vielen Stellen. Die meisten kennen vom Jahrmarkt die kleinen Teufel, die an Spiralfedern auf und ab schwingen. Wer genau beobachtet, sieht, dass die Wasseroberfläche, die durch einen Steinwurf eingedrückt wurde, über ihre normale Höhe hinausschnellt. An allen Musikinstrumenten schwingen kaum sichtbar Bauteile, die die Luft zu Schallwellen anregen und über unser Trommelfell im Ohr den Höreindruck erzeugen. Hochhäuser werden mit einem elastischen Stahlskelett ausgestattet, damit sie wie die Kornpflanze bei Sturm oder Erdbeben nachgeben können. In den Uhren arbeiten Unruh, Pendel oder ein Schwingquarz für eine exakte Zeit, der Fahrkomfort im Kraftfahrzeug wird durch schwingende gedämpfte Radaufhängung erhöht. Sogar Moleküle, die Atome in einem Kristallgitter und selbst die Atomkerne und deren Elementarteilchen führen Schwingungen aus und speichern auf diese Weise Energie.

Das Prinzip der Schwingung ist immer dasselbe: Elastische Objekte, die durch eine äußere Kraft aus der Gleichgewichtslage gebracht werden, schwingen, wenn sie auf die äußere Anregung mit einer rücktreibenden, ortsabhängigen Kraft reagieren. Rücktreibend bedeutet, dass die vom Objekt ausgeübte Kraft entgegengesetzt zur Richtung der anregenden Kraft wirkt. Ortsabhängig heißt hier, dass die Reaktionskraft um so größer wird, je weiter der Gegenstand aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt wird.

Mit dem Sat-Roller könnt Ihr verschiedene physikalische Größen, die eine Schwingung bestimmen, experimentell messen. An diesem Versuchsaufbau lernt Ihr einiges über den Begriff der Schwingung. Und wenn Ihr das allgemeine Prinzip verstanden habt, dann könnt Ihr es auf viele unterschiedliche Bereiche in der Physik anwenden.
Wichtiges über Messtechnik erarbeitet Ihr ganz nebenbei beim Experimentieren. Die sinnvolle Durchführung der Experimente ist Voraussetzung für gute Ergebnisse. Bei jeder Messung treten Messungenauigkeiten auf, die Ihr nicht vermeiden könnt. Lässt man z. B. mehrere Personen die Höhe einer Tischplatte messen, so bekommt man verschiedene Ergebnisse (77,3 cm, 77,2 cm, 77,7 cm, 77,55 cm, 76,9 cm ...). Die Messwerte streuen um einen bestimmten Wert, den Mittelwert, der hier 77,33 cm beträgt. Der Bereich, in dem die Messergebnisse liegen, hier ± 0,4 cm, nennt man Messunsicherheit. Wenn Ihr den Bereich der Messunsicherheit angeben könnt, seid Ihr in der Lage, eine Aussage über die Genauigkeit eurer Messung zu machen. Sicherlich ist es ein Ziel, diesen Bereich so klein wie möglich zu machen.


2. Versuchsgegenstände
Der Versuchsaufbau besteht aus einer parabolischen Satellitenschüssel mit den Achsenlängen 72 cm und 83 cm. Auf einem Brett wird die Schüssel auf vier in ihrer Höhe verstellbaren Spitzen gelagert. In der Satellitenschüssel kann man verschiedene Kugeln und Zylinder hin und her rollen lassen. Startet man die "Roller" am Rand, so führen sie Schwingungen aus und bleiben nach einiger Zeit im tiefsten Punkt der Schüssel liegen. Für die Versuche braucht Ihr verschiedene Gegenstände aus folgender Tabelle. Bitte überprüft zu Beginn eurer Experimente, ob alles vorhanden ist.
  • 4 Stellschrauben mit fest montierten Rändelmuttern
  • 1 Tennisball (Durchmesser 60 mm)
  • 1 Kugel einer Computermaus (Durchmesser 22 mm)
  • 3 Murmeln (Durchmesser 16,9; 16,1 und 11 mm)
  • 4 Zylinder (Durchmesser 50 mm, 2x 35 mm, 14 mm)
  • 3 Hohlzylinder (Durchmesser 2x 50 mm und 35 mm)
  • mehrere Längenmessgeräte (Messschieber, Maßstab...)
  • Wasserwaage (Länge 1 m, 2 Libellen)
  • Stoppuhr (Genauigkeit 0,1 s)
  • Waage 0 - 500 g (Genauigkeit 0,1 g)
  • 1 Motor mit 2 Excenterscheiben
  • 2 Federn (an der Schüssel befestigt für die Gegenkraft)
  • 1 Spannschraube mit Loch
  • regelbare Gleichspannungsquelle (0 - 20 V=, 1 A)
  • Multimeter (0 - 20 V) mit einer 3-stelligen Anzeige
  • Mehrzweckfett
3. Definitionen und Begriffe
Eine Schwingung ist eine periodische Bewegung. Im vorliegenden Beispiel führt ein rollender Gegenstand eine Schwingung in der Satellitenschüssel aus. Für diese Bewegung gibt es eine feste physikalische Größe: Die Schwingungsdauer, die die Bewegung beschreibt und vom Aufbau der Schüssel und den Eigenschaften der verwendeten Materialien abhängt. Unter der Schwingungsdauer versteht man die Zeit, die der ausgelenkte Roller braucht, um wieder den gleichen Zustand einzunehmen. Dies können beliebige Orte, aber auch die maximalen Endlagen in der Schüssel sein.
Die Anzahl der Schwingungen, die der Roller in einer Sekunde ausführt, heißt Frequenz und wird in der Einheit [1/s] oder Hertz [Hz] gemessen. Sie kann als Kehrwert aus der Schwingungsdauer berechnet werden. Die Frequenz des Sat-Rollers kann auch kleiner als 1 Hz sein. Wird das System sich selbst überlassen, so schwingt es gewöhnlich mit einer ganz charakteristischen Frequenz wie z.B. ein Pendel. Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz.
Die größte Auslenkung einer Schwingung nennt man Amplitude.
Die Rollgeschwindigkeit ist bei der Schwingung nicht konstant und wird durch Reibung zwischen dem Roller und der Schüsseloberfläche beeinflusst. Die Reibung bewirkt, dass die Amplitude mit der Zeit abnimmt. Es stellt sich nach einiger Zeit der Gleichgewichtszustand, nämlich die Ruhelage, gewöhnlich im tiefsten Punkt der Schüssel, ein.

4. Erste Beobachtungen PIC2
Am besten führt Ihr zuerst eine Probierphase durch. Bringt die Schüssel mit den Stellschrauben und der Wasserwaage in eine waagrechte Lage. Dabei müsst Ihr darauf achten, dass die Schrauben aus dem Brett unten nicht herausragen. Der maximale Verstellweg wird durch die Brettdicke und die Höhe der Halterungsklötze bestimmt. Lasst nun je einen Roller von jeder Sorte aus bestimmten Höhen (Auslenkung) oder vom Schüsselrand in die Ruhelage rollen. Beschränkt euch dabei auf die 2 Achsen. Wie viele Schwingungen könnt Ihr bei welchem Roller beobachten? Wie lange dauert etwa eine Schwingung? Wo bleiben die Roller liegen? Steht die Größe der Auslenkung im Zusammenhang mit der Schwingungsdauer oder der Anzahl der Schwingungen?

Ihr habt jetzt eine Vorstellung davon bekommen, was mit den Rollern passiert. Nun soll aber euer Experiment genauer werden. Gute Wissenschaftler beschreiben zunächst ihren Versuchsaufbau und dann, was und wie sie gemessen haben. Ein wichtiger wissenschaftlicher Grundsatz ist die Nachprüfbarkeit eurer Ergebnisse durch andere Personen. Ihr sollt also jetzt echte Messwerte erzeugen und auch noch sagen können, wie gut diese sind.

5. Allgemeine Informationen
Quantitative Messungen machen Experimente vergleichbar. Dadurch wird es auch möglich, Vorhersagen aus der Theorie zu überprüfen. Bei jeder Messung entstehen allerdings Messungenauigkeiten, die natürlich nichts mit fehlerhaftem Arbeiten zu tun haben. Erst mit der Größenangabe dieser Ungenauigkeiten kann man die Qualität der gewonnenen Messwerte beurteilen.

Folgende Messungenauigkeiten können auftreten:
  • Systematische Messfehler: Fehler, die aus dem Versuchsaufbau resultieren, die das Messinstrument mitbringt sowie systematische Ablesefehler. Alle diese Fehler können vermindert werden.
  • Zufällige Fehler: Fehler durch Störungen von außen, zufällige Ablesefehler. Diese Fehler sind nur schwierig zu vermindern.
Möglichkeiten zur Fehlerbegrenzung und Fehlerabschätzung:
  • Möglichst viele Messungen durchführen, sofern es die Zeitplanung und der Versuchsaufbau erlauben.
  • Eine Liste der möglichen Störgrößen erstellen.
  • Organisation der Messung: Messwerttabellen erstellen, aufgabenangepasste Messverfahren wählen, die Aufgabenverteilung in der Gruppe vor der Messung festlegen.
  • Mathematische Fehlerrechnung, Mittelwertbildung, Doppelrechnung etc.
5.1. Allgemeine Aufgaben PIC3
  • Vermesst eure Rollkörper: Durchmesser (bei den Hohlzylindern außen und innen), Länge und Masse. Bestimmt deren Material, ihre Dichte und macht eine Aussage über deren Oberfläche. Fasst eure Ergebnisse in Form einer Tabelle zusammen.
  • Vermesst die Geometrie der Satellitenschüssel. Legt dazu die Wasserwaage auf den Schüsselrand und messt mit dem Messschieber auf beiden Achsen die Tiefe der Schüssel an mehreren Stellen.
    • In welchen Abständen solltet Ihr die Tiefe messen?
    • An welcher Stelle beginnt Ihr mit der Messung?
    • Macht eine Aussage über die Genauigkeit dieser Messung.
    • Als Ergebnis erhaltet Ihr die so genannte Potenzialfunktion auf den Achsen der Schüssel (auf deren Bedeutung wird im Kap 8, Energiebetrachtungen, genauer eingegangen).
    • Erstellt den Graphen dieser Funktion
  • Welche Rechnung müsst Ihr durchführen, damit Ihr aus eurer Messung eine Funktion bestimmen könnt, die die Satellitenschüssel sinnvoll beschreibt (Tiefster Punkt = Nullpunkt = Schnittpunkt der Koordinatenachsen)?
6. Informationen zur Schwingungsdauer
In der Einleitung wurde es schon erwähnt: Unter der Schwingungsdauer versteht man die Zeit, die der ausgelenkte Roller braucht, um wieder den gleichen Ort einzunehmen. Je nach Startort können dies beliebige Orte in der Schüssel sein. Die Achsen sind natürlich prädestiniert.

6.1. Aufgaben zur Schwingungsdauer PIC4
Da diese Messungen zeitkritisch sind, ist es sinnvoll, dass Ihr euch vor der Messung Gedanken zum Ablauf macht. Welche physikalischen Größen werden gemessen? Welchen Wertebereich können diese annehmen? Welche Vorbereitungen sind vor der Messung wichtig? Wie werden die Aufgaben verteilt? Wie soll die Messwerttabelle angelegt werden?
  • Beginnt zunächst mit der Kugel aus der Computer-Maus, startet diese an einem festgelegten Punkt auf einer Achse (z.B. der kürzeren Querachse) und beschreibt die Beobachtung zunächst qualitativ. Verwendet dazu die Begriffe Geschwindigkeit, Schwingungsdauer, Amplitude und Nulldurchgang bzw. Ruhelage.
  • Startet die Kugel am höchsten Punkt der Querachse und messt die Schwingungsdauer mit der Stoppuhr. Hinweis: Die meisten Mobiltelefone besitzen eine recht genaue Stoppuhr.
  • Bei welchen Auslenkungen lässt sich die Schwingungsdauer am besten messen?
  • Könnt Ihr eine Aussage über den Fehler eurer Messungen machen?
  • Wie könnt Ihr genauere Messwerte erzielen? Welche Annahme muss dazu erfüllt sein?
  • Von welchen Größen könnte die Schwingungsdauer abhängen? Führt also jetzt Messungen mit verschiedenen Rollern sowohl an der Längs- als auch Querachse durch. Erstellt vorher einen Versuchsplan, was wie und wie genau gemessen wird, um den Zeitaufwand abzuschätzen. Da Ihr aus euren Messungen neue Informationen gewinnt, ist es gegebenenfalls sinnvoll, den Versuchsplan entsprechend anzupassen.
  • Entwickelt eine Theorie, mit der Ihr die Schwingungsdauer berechnen könnt. Aus dem Kräftegleichgewicht der Hangabtriebskraft und der Trägheitskraft könnt Ihr das Weg-Zeit-Gesetz der Schwingung aufstellen. Verwendet dazu eure Potenzialfunktion und die nebenstehende Zeichnung.
7. Informationen zur Schwingungsamplitude PIC5
Bei den ersten Messungen an der Satellitenschüssel habt Ihr festgestellt, dass die Amplitude der Schwingung mit der Zeit abnimmt. Man nennt diese Schwingung auch gedämpfte Schwingung. In der nebenstehenden Abbildung (aus Literatur [1]) seht Ihr ein Beispiel, wie sich die Amplitude einer Rollerschwingung mit der Zeit verringert, die zu Beginn um den Wert x ausgelenkt wurde.
Der Grund für die Amplitudenabnahme der Schwingung ist die Reibung des Rollers an der Schüsseloberfläche. Durch Reibung geht Schwingungsenergie verloren, die Amplitude der Schwingung wird gedämpft. Je nach Grad der Dämpfung kann man drei Fälle unterscheiden:
  1. Schwache Dämpfung (Schwingfall)
    Die Bewegung des Rollers enthält genügend Energie, um eine Schwingbewegung, d.h. mehrere Nulldurchgänge, durchzuführen bzw. Amplituden einzunehmen. Die Amplituden der Schwingung verringern sich, bis die Ruhelage letztendlich eingenommen wird.
  2. Mittlere Dämpfung (aperiodischer Grenzfall)
    Die Reibung ist gerade so groß, dass der Roller nach der anfänglichen Auslenkung innerhalb der ersten Schwingung wieder die Ruhelage einnimmt. Der Endwert wird von allen drei Fällen am schnellsten erreicht.
  3. Starke Dämpfung (Kriechfall)
    Der Roller wird durch die Reibung so stark gebremst, dass keine Schwingung auftritt. Er kriecht von der ersten Auslenkung aus langsam in die Ruhelage.
7.1. Aufgaben zur Schwingungsamplitude
  • Messt die Amplituden der Mauskugel für mehrere Schwingungsdurchgänge
  • Stellt die gemessenen Amplituden als Funktion der Zeit graphisch dar und beschreibt das Ergebnis qualitativ. Hinweis: Verwendet dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm, z. B. Microsoft Excel mit der Diagrammfunktion. Bedenkt bitte, dass MS - Excel nur ganze Werte auf der Ordinate abbilden kann. Wie könnt Ihr das Problem umgehen?
  • Informiert euch über die unterschiedlichen Reibungsarten: Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung.
  • Führt Amplitudenmessungen mit verschiedenen Rollergeräten durch. Erstellt dazu vorher auch einen Versuchsplan, um den Zeitaufwand abzuschätzen.
  • Stellt die Abhängigkeit der Amplitude von der Geometrie der Rollgeräte fest.
  • Macht eine Aussage über die Genauigkeit eurer Messungen.
  • Ist mit den Rollkörpern der aperiodische Grenzfall realisierbar?
8. Energiebetrachtungen an der Schwingung des Satellitenschüssel-Rollers PIC6
Eine harmonische Schwingung entsteht, wenn - wie in der Einleitung bereits erläutert - in einem System ortsabhängige, rücktreibende Kräfte vorhanden sind. Beim Sat-Roller ist die Hangabtriebskraft, eine Komponente der Schwerkraft, als rücktreibende Kraft im Spiel. Nach dem Start des Rollers am Rand der Satellitenschüssel (Anregung der Schwingung) wandelt sich mehrfach Lageenergie (potenzielle Energie) des Rollers in Bewegungsenergie um.
Die potenzielle Energie folgt aus der Potenzialfunktion, die Ihr bis auf einen konstanten Faktor (Gewichtskraft der Rollgeräte) bei der Vermessung der Schüsseloberfläche schon bestimmt habt. Physikalisch betrachtet ist ein Potenzial ein Vorschrift, aus der sich Energiewerte berechnen lassen. Bewegt Ihr einen Gegenstand auf der Schüsseloberfläche zwischen zwei Punkten mit unterschiedlicher Höhe (unterschiedlichem Potenzial), so müsst Ihr ihn entweder hinaufschieben und dabei Arbeit verrichten, oder hinab bewegen, wobei Arbeit frei wird. Diese Arbeit ist gleich der potenziellen Energie, die den Roller auch in Bewegung versetzen kann, wenn man ihn frei rollen lässt. Dabei erzeugt die Hangabtriebskraft über den Hebelarm Schwerpunkt - Auflagepunkt (Radius R), eine Drehbewegung. Der Roller rotiert um seinen Schwerpunkt, der sich dabei im Abstand R über der Schüsseloberfläche auf deren tiefsten Punkt zu bewegt. Die Rotation kann als Bewegungsenergie des Rollers aufgefasst werden. Analog zur Trägheit einer linearen Bewegung wirkt bei der Drehbewegung eines Körpers das Trägheitsmoment Θ.
PIC7
Wer einen Drehstuhl besitzt, kann ein einfaches Experiment durchführen, um die Wirkung des Trägheitsmomentes zu erfahren. Begebt euch auf einen Drehstuhl, streckt Arme und Beine aus, um Schwung zu holen und versetzt euch in Rotation (rechtes Teilbild). Dann zieht Ihr Arme und Beine dicht an euren Körper (linkes Teilbild). Was beobachtet Ihr? Zur Wiederholung könnt Ihr Arme und Beine erneut ausstrecken.
Das Trägheitsmoment ist eine Größe, die die Verteilung der Masse bezüglich ihrer Drehachse berücksichtigt (ausgestreckte, angelegte Arme bzw. Beine). Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes wird jedes Masseteilchen mit dem Quadrat des Abstandes von seiner Drehachse gewichtet. Betrachtet man ein Massestück im Abstand R1 und ein anderes gleich großes im Abstand 2 * R1 von ihrer Drehachse, so besitzt die letztere Masse das 4-fache Trägheitsmoment. Je größer das Trägheitsmoment eines Körpers ist, d.h. je weiter entfernt sich seine Masse von ihrer Drehachse befindet, um so schwerer lässt sich ein Körper in Rotation versetzen. Besitzen zwei Körper gleicher Masse aber mit unterschiedlichem Trägheitsmoment die gleiche Rotationsenergie, so rotiert der Körper mit größerem Trägheitsmoment langsamer um seine Drehachse.
Als dritter Energieanteil ist die Verlustenergie zu nennen. Rollen Kugel oder Zylinder über die Schüsseloberfläche, so wandelt sich am Auflagepunkt bei jeder Schwingung ein Teil ihrer Energie durch die Rollreibung in Wärmeenergie um. Diese wird an die Umgebung abgegeben und geht dem System verloren. Der Verlust zeigt sich in der Amplitudenabnahme, die Ihr schon beobachtet habt.
Das Verhältnis von gespeicherter Energie zur Verlustenergie nennt man Güte Q des schwingungsfähigen Systems.

8.1. Aufgaben zu den verschiedenen Energieformen der Rollerschwingung
  • Beschreibt die treibenden und hemmenden Kräfte der Rollerschwingung.
  • Wodurch wird bei der gedämpften Schwingung die Amplitudenabnahme verursacht?
  • Ermittelt aus dem Amplituden-Zeit-Diagramm die Dämpfungskonstante γ. Dazu bildet Ihr zunächst den natürlichen Logarithmus aus den Amplitudenverhältnissen An : A1 (An = gemessene Amplitude, A1 = Anfangsamplitude). Dann stellt Ihr diese Werte als Funktion der Zeit graphisch dar und bestimmt deren Steigung. Ihr könnt das Logarithmisieren sparen, wenn Ihr spezielles Zeichenpapier verwendet, bei dem die y-Achse logarithmisch eingeteilt ist.
  • Beschreibt qualitativ die unterschiedlichen Energieformen der Rollerschwingung.
  • Informiert euch in der Literatur oder im Internet, wie Ihr das Trägheitsmoment der verschiedenen Rollkörper (Kugel, Zylinder, Hohlzylinder) berechnen könnt.
  • Welcher zeitliche Zusammenhang besteht zwischen der potenziellen Energie, den Kräften und den Geschwindigkeiten?
  • Könnt Ihr die Verlustenergie, die aus der Dämpfung resultiert, für zwei aufeinander folgende Amplituden berechnen?
  • Das Verhältnis von der in der Schwingung gespeicherten Energie zur Verlustenergie nennt man Güte Q des schwingungsfähigen Systems. Bestimmt die Güte des Systems für die verschiedenen Rollertypen mit der Gleichung Q = Ωo / γ, wobei Ωo die Eigenkreisfrequenz der Schwingung ist.
9. Informationen zur angeregten Schwingung PIC8
Die Satellitenschüssel ist an ihrer Längsachse auf zwei Spitzen gelagert und wird an der Querachse auf einer Seite mit dem Motor und dem Excenterrad, das eine Drehbewegung in eine lineare Bewegung umwandelt, angetrieben. Eine vorgespannte Feder auf der Gegenseite sorgt dafür, dass die Schüssel immer an dem Excenterrad anliegt. Die Umdrehungszahl des Motors kann durch Verändern der Motorspannung in einem ausreichenden Bereich variiert werden.
Mit dieser Anordnung kann man die Satellitenschüssel um eine Achse periodisch auf und ab bewegen und die Schwingung der Rollgeräte über einen längeren Zeitraum aufrechterhalten.
Die in eine Richtung kippbare Satellitenschüssel und die darin in gleicher Richtung rollenden Zylinder bzw. Kugeln bilden zwei schwingfähige Systeme, die sich jeweils mit unterschiedlichen Frequenzen oder Schwingungsdauern bewegen können. Nach dem Superpositionsprinzip überlagern sich diese beiden Schwingungen, die Auslenkungen addieren sich zu jedem Zeitpunkt. Startet man den Roller an einer beliebigen Stelle der Schüssel, so schwingt er in seiner Eigenfrequenz, die durch die Dämpfung eine Amplitudenabnahme erfährt. Wenn die gesamte Schwingenergie aufgebraucht ist, bleibt das Rollgerät am tiefsten Punkt der Satellitenschüssel liegen (Abklingvorgang: Abb. a). Schaltet man zwischenzeitlich den Antrieb ein, so überlagert sich die Eigenschwingung des Rollers mit der Anregung durch den Motor und der Roller führt komplizierte Bewegungsformen aus, die auch als Einschwingvorgang einer erzwungenen Schwingung bezeichnet werden (vgl. Abb. b). Ist die Anfangsenergie des Rollers weggedämpft und arbeitet der periodische Antrieb gleichförmig weiter, so stellt sich ein stationäres Verhalten ein (rechter Abschnitt in Abb. b). Immer, wenn sich die Amplitude, Phase oder Frequenz eines der Schwingsysteme ändern, so treten diese Einschwing- bzw. Abklingvorgänge auf; wartet man danach eine Weile, so hat man wieder ein stationäres Verhalten.
PIC9 PIC10
Erhöht man die Drehzahl des Motors von niedrigen zu höheren Werten, so schwingt der Roller nach der entsprechenden Wartezeit stationär mit einer von der Anregung abhängigen Amplitude. Erreicht man die Eigenfrequenz des Schüssel-Roller-Systems, so nimmt die Amplitude ein Maximum an. Man spricht dann von Resonanz. Je geringer die Dämpfung oder je größer die Güte Q des Systems, um so höher und um so schmaler ist die Amplitudenkurve als Funktion der Anregungsfrequenz (vgl. Abb. c; Resonanzkurve). Wenn die Anregungsfrequenz wesentlich über der Eigenfrequenz des Rollers liegt, dann fällt die Amplitude wieder ab.
PIC11 PIC12
Neben der Resonanz gibt es einen weiteren besonderen stationären Zustand: Die Schwebung.
Diese tritt für den Fall auf, dass der Frequenzunterschied zwischen der Anregung und der Rollbewegung gering und die Güte des Systems besonders hoch ist. In der nebenstehenden Abbildung sind zwei Schwingungen mit dem Verhältnis T1/T2 = 7/6 überlagert. Als Resultierende ergibt sich eine Schwingung, deren Amplitude mit der Schwingungsdauer TS moduliert ist. Je geringer der Abstand von Anregungsfrequenz und Eigenfrequenz ist, um so größer ist die Schwingungsdauer TS der Schwebung. Gleichzeitig verändert sich die eingehüllte Schwingungsdauer TR der Rollerschwingung proportional zum Kehrwert der Summe aus Anregung und Eigenfrequenz.

9.1 Aufgaben zur angeregten Rollerschwingung
  • Messt die Umdrehungszahl (pro Minute) des Motors in Abhängigkeit von seiner Betriebsspannung und erstellt ein Diagramm, bei dem die Motorfrequenz als Funktion der Motorspannung dargestellt wird.
  • Bewegt die Satellitenschüssel mit verschiedenen Motordrehzahlen periodisch. Erstellt die Amplituden-Frequenz-Diagramme für die verschiedene Kugeln. Bei welcher Frequenz stellt sich Resonanz ein?
  • Untersucht die Anregung genauer. Welcher Mechanismus überträgt die Anregungsenergie auf die Roller?
  • Messt die Amplitude einer Zylinderschwingung über einen längeren Zeitraum. Verwendet dazu eine Frequenz, die in der Nähe der Eigenschwingung des Rollers liegt. Startet dazu den Roller an einer mittleren Höhe der Satellitenschüssel. Wichtig ist, dass Ihr dabei sowohl die Frequenz der Anregung als auch Frequenz des Rollers bestimmt.
  • Beschreibt qualitativ den zeitlichen Verlauf (Phasenbeziehung) zwischen Anregung und der Zylinderbewegung im stationären Zustand. Dazu notiert Ihr die Stellung des Excenterrades in den Umkehrpunkten der Schwingung und wenn der Roller sich im Nulldurchgang befindet. Alternativ kann man zu festen Winkeln des Excenterrades die Auslenkung des Rollers und damit seine Phasenlage gegenüber der Anregung bestimmen.
10. Literatur
  1. Bergmann; Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1: Mechanik, Relativität, Wärme, de Gruyter Berlin; New York 1998, ISBN: 3110128705
  2. Tobias Schmidt, Dirk Schlender: Untersuchung zum saisonalen Reifenwechsel unter Berücksichtigung technischer und klimatischer Aspekte; Projektbericht, Bergische Universität Wuppertal Sicherheitstechnik Fachgebiet Verkehrssicherheitstechnik, Wuppertal 2003
  3. Niemann, Gustav, Höhn, Bernd-Robert, Winter, Hans: Maschinenelemente, Konstruktion und Berechnung von Verbindungen, Lagern, Wellen; Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg 2005, Online-Ausgabe, ISBN: 9783540264248
  4. Vöth, Stefan: Dynamik schwingfähiger Systeme, Von der Modellbildung bis zur Betriebsfestigkeitsrechnung mit Matlab/Simulink, Vieweg Verlag 2006, ISBN: 3834801119
  5. Wikipedia, die freie Enzyklopädie: http://de.wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand
  6. Tross, Arnold: Über den Mechanismus der Rollreibung und ihres Kraftschlusses, aus: Beiträge zur Klärung der Mechanismen von Festigkeit, Reibung und Verschleiß, 2. Serie, 8. Bericht, München 1966
  7. Föppl, Ludwig: Die strenge Lösung für die rollende Reibung, Leibnitz-Verlag, München 1947
  8. Hakenjos, Volker: Untersuchung über die Rollreibung bei Stahl im elastisch plastischen Zustand, Dissertation an der Technischen Hochschule Stuttgart, 1967
  9. Czichos, H.: Die Rollreibung von Metallen bei kleinen Belastungen, Abschlußbericht zur Forschungsaufgabe DFG Ki 66/11, Bundesanstalt für Materialprüfung (BAM), Fachgruppe 5.2 (Rheologie & Tribologie), Berlin-Dahlem, 1971
  10. Czichos, H.: Die Energieverlustmechanismen der Rollreibung, Schmiertechnik und Tribologie 16, Berlin-Dahlem 1969, Heft 2, S 62 68
  11. Czichos, H.: Ein photoelektronsiches Torsionsdynamometer zur Messung kleiner Drehmomente, Carl Hanser Verlag München, 1969, Sonderdruck aus der Zeitschrift Feinwerktechnik, 73. Jahrgang 1969, Heft 9
  12. Böge, Alfred: Technische Mechanik; Statik - Dynamik Fluidmechnaik Festigkeitslehre, Vieweg Verlag Braunschweig, 2001, ISBN: 3-528-05010-1, S. 134 ff