1. Einleitung PIC1
Ein schlanker, hoch gewachsener Baum, vom Sturm angeblasen, bricht deshalb nicht ab, weil er elastisch zurückweicht und, wenn der Wind etwas nachlässt, Schwingungen ausführt. Ist das eine Laune der Natur oder steckt da ein nicht auf den ersten Blick erkennbares Prinzip dahinter?
Schwingungen begegnen uns im täglichen Leben an vielen Stellen. Die Kinderschaukel kennt jeder. Aber auch die Saite einer Gitarre, eine Stimmgabel oder die Membran einer Trommel erzeugen kaum sichtbare Schwingungen, die die Luft zu Schallwellen anregen und über unser Trommelfell im Ohr den Höreindruck erzeugen.
Die Technik nutzt das Pendel oder die Unruh, um exakte Zeitgeber herzustellen, oder die schwingende Radaufhängung, um bei einem Kraftfahrzeug den Fahrkomfort zu erhöhen. Sogar Moleküle, die Atome in einem Kristallgitter und selbst die Atomkerne führen Schwingungen aus und speichern auf diese Weise Energie.

Das Prinzip der Schwingung ist immer dasselbe:
Elastische Objekte, die durch eine äußere Kraft aus der Gleichgewichtslage gebracht werden, schwingen, wenn sie auf die äußere Anregung mit einer rücktreibenden, ortsabhängigen Kraft antworten. Rücktreibend bedeutet, dass die vom Objekt ausgeübte Kraft entgegengesetzt zur Richtung der anregenden Kraft wirkt. Ortsabhängig heißt hier, dass die Antwortkraft um so größer wird, je weiter der Gegenstand aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt wird.

Mit dem U-Rohr-Schwinger sollt Ihr verschiedene physikalische Größen, die eine Schwingung bestimmen, experimentell messen. An diesem Versuchsaufbau könnt Ihr einiges über den Begriff der Schwingung lernen. Und wenn Ihr das allgemeine Prinzip verstanden habt, dann könnt Ihr es auf viele unterschiedliche Bereiche in der Physik anwenden.

Beim Experimentieren lernt Ihr auch ganz nebenbei einiges über Messtechnik. Zunächst ist eine sinnvolle Durchführung der Experimente Voraussetzung für gute Ergebnisse. Bei jeder Messung treten Messungenauigkeiten auf, die Ihr nicht vermeiden könnt. Lässt man z. B. mehrere Personen die Sitzhöhe eines Stuhles messen, so bekommt man verschiedene Ergebnisse (46,3 cm, 46,2 cm, 46,7 cm, 46,55 cm, 45,9 cm ...). Die Messwerte streuen um einen bestimmten Wert, den Mittelwert, der hier 46,33 cm beträgt. Der Bereich, in dem die Messergebnisse liegen, hier ± 0,4 cm, nennt man Messunsicherheit. Wenn Ihr den Bereich der Messunsicherheit angeben könnt, seid Ihr in der Lage, eine Aussage über die Genauigkeit eurer Messung zu machen. Sicherlich ist es ein Ziel, diesen Bereich so klein wie möglich zu machen.

2. Versuchsgegenstände
Der Versuchsaufbau besteht aus einem U-Rohr aus Glas mit einer Schenkellänge von 70 cm. Das U-Rohr wird mit Wasser oder einer anderen geeigneten Flüssigkeit gefüllt. Weiterhin stehen zur Verfügung:
  • 2 Bechergläser: 200 ml, und 10 ml
  • Pipette (1 ml Volumeneichung), mehrere Schraubgläser
  • Trichter für den rechten Anschluss des U-Rohrs
  • 2 Schläuche (ineinander steckbar für linken Anschluss)
  • mehrere Längenmessgeräte (Messschieber, Maßstab...)
  • Stoppuhr (Genauigkeit 0,1 s)
  • Waage 0 - 500 g (Genauigkeit 0,1 g)
  • Thermometer (0 - 100 °C)
  • Heizplatte oder Tauchsieder
  • 1 kg Zucker, 1-2 Teelöffel Zimt
  • Tabellenbuch mit Viskositätsdaten
  • Pumpantrieb mit Pleuel, Motor und Luftpumpe
  • regelbare Gleichspannungsquelle (0 - 20 V=, 1 A)
  • Multimeter (0 - 20 V) mit einer 3-stelligen Anzeige
Bitte überprüft, ob alle Gegenstände vor Beginn eurer Experimente vorhanden sind.

3. Definitionen und Begriffe
Eine Schwingung ist eine periodische Bewegung. Im vorliegenden Beispiel schwingt eine Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr. Für diese Bewegung gibt es eine feste physikalische Größe: Die Schwingungsdauer, die die Bewegung beschreibt und vom Aufbau des U-Rohrs und den Eigenschaften aller verwendeten Materialien abhängt.
Unter der Schwingungsdauer versteht man die Zeit, die die ausgelenkte Flüssigkeitssäule braucht, um wieder den gleichen Zustand einzunehmen. Dies können beliebige Höhen, aber auch die maximalen Endlagen im U-Rohr sein. Die Anzahl der Schwingungen, die die Flüssigkeitssäule in einer Sekunde ausführt, heißt Frequenz und wird in der Einheit [1/s] oder Hertz [Hz] gemessen. Sie kann als Kehrwert aus der Schwingungsdauer berechnet werden. Die Frequenz des U-Rohr-Schwingers kann auch kleiner als 1 Hz sein. Wird das System sich selbst überlassen, so schwingt es gewöhnlich mit einer ganz charakteristischen Frequenz wie z.B. eine Pendeluhr. Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz.
Die größte Auslenkung einer Schwingung nennt man Amplitude.
Die Strömungsgeschwindigkeit ist bei der Schwingung nicht konstant und wird durch Reibung z. B. an der Rohrwand beeinflusst. Diese Reibung bewirkt, dass die Amplitude mit der Zeit abnimmt. Es stellt sich nach einiger Zeit wieder der Gleichgewichtszustand, nämlich die Ruhelage, ein.

4. Erste Beobachtungen
Am besten führt Ihr zuerst eine Probierphase durch. Füllt das U-Rohr zunächst etwa bis zur Hälfte mit Wasser. Lenkt durch Reinblasen oder durch Ansaugen die Flüssigkeitssäule aus ihrer Gleichgewichtslage aus und lasst sie schwingen. Wie viele Schwingungen könnt Ihr beobachten? Wie lange dauert etwa eine Schwingung? Steht die Größe der Auslenkung im Zusammenhang mit der Schwingungsdauer oder der Anzahl der Schwingungen?

Ihr habt jetzt eine Vorstellung davon bekommen, was mit der Flüssigkeit passiert. Nun soll aber Euer Experiment genauer werden. Gute Wissenschaftler beschreiben zunächst Ihren Versuchsaufbau und dann, was und wie sie gemessen haben. Ein wichtiger wissenschaftlicher Grundsatz ist die Nachprüfbarkeit eurer Ergebnisse durch andere Personen. Ihr sollt also jetzt echte Messwerte erzeugen und auch noch sagen können, wie gut diese sind.

5. Allgemeine Informationen
Quantitative Messungen machen Experimente vergleichbar. Dadurch wird es möglich, Vorhersagen aus der Theorie zu überprüfen. Bei jeder Messung entstehen allerdings Messungenauigkeiten, die natürlich nichts mit fehlerhaftem Arbeiten zu tun haben. Erst mit der Größenangabe dieser Ungenauigkeiten kann man die Qualität der gewonnenen Messwerte beurteilen.

Folgende Messungenauigkeiten können auftreten:
  • Systematische Messfehler: Fehler, die aus dem Versuchsaufbau resultieren, die das Messinstrument mitbringt, systematische Ablesefehler. Alle diese Fehler können vermindert werden.
  • Zufällige Fehler: Fehler durch Störungen von außen, zufällige Ablesefehler. Diese Fehler sind nur schwierig zu vermindern.
Möglichkeiten zur Fehlerbegrenzung und Fehlerabschätzung:
  • Möglichst viele Messungen durchführen, sofern es die Zeitplanung und der Versuchsaufbau erlauben.
  • Eine Liste der möglichen Störgrößen erstellen.
  • Organisation der Messung: z.B. Messwerttabellen erstellen, aufgabenangepasste Messverfahren wählen, die Aufgabenverteilung in der Gruppe vor der Messung festlegen.
  • Mathematische Fehlerrechnung, Mittelwertbildung, Doppelrechnung etc.
5.1 Allgemeine Aufgaben
  • Vermesst die Geometrie des Versuchsaufbaus, d.h. Länge und Durchmesser des U-Rohrs.
  • Macht eine Aussage über die Genauigkeit dieser Messung.
  • Gibt es andere Messverfahren, die eventuell die Messgenauigkeit erhöhen können?
  • Bestimmt charakteristische Werte des Flüssigkeitsmediums (Masse, Temperatur, Dichte, Zähigkeit oder Viskosität) und schätzt die Fehler der Messwerte ab. (Hinweis: Verwendet als Informationsquelle Lexika, das Internet und für die letzte physikalische Größe "Viskosität" Tabellenbücher).
6. Informationen zur Schwingungsdauer
In der Einleitung wurde es schon erwähnt: Unter der Schwingungsdauer versteht man die Zeit, die die ausgelenkte Flüssigkeitssäule braucht, um wieder den gleichen Zustand einzunehmen. Dies können beliebige Höhen im U-Rohr sein.

PIC2 6.1 Aufgaben zur Schwingungsdauer
  • Da diese Messungen zeitkritisch sind, ist es sinnvoll, dass Ihr euch vor der Messung Gedanken zum Ablauf macht. Welche physikalischen Größen werden gemessen? Welchen Wertebereich können diese annehmen? Welche Vorbereitungen sind vor der Messung wichtig? Wie werden die Aufgaben verteilt? Wie soll die Messwerttabelle angelegt werden?
  • Lenkt die Flüssigkeitssäule aus und beschreibt die Beobachtung zunächst qualitativ. Verwendet dazu die Begriffe Strömungsgeschwindigkeit, Schwingungsdauer, Amplitude und Nulldurchgang bzw. Ruhelage.
  • Lenkt die Flüssigkeitssäule aus und messt die Schwingungsdauer mit der Stoppuhr.
  • Bei welchen Auslenkungen lässt sich die Schwingungsdauer am besten messen?
  • Könnt Ihr eine Aussage über den Fehler eurer Messungen machen?
  • Wie könnt Ihr genauere Messwerte erzielen? Welche Annahme muss dazu erfüllt sein?
  • Von welchen Größen könnte die Schwingungsdauer abhängen? Variiert dazu mögliche Größen des Versuchsaufbaus.
  • Entwickelt eine Theorie, mit der Ihr die Schwingungsdauer berechnen könnt. Aus dem Kräftegleichgewicht der überstehenden Flüssigkeitssäule und der Trägheitskraft könnt Ihr das Weg-Zeit-Gesetz der Schwingung aufstellen. Verwendet dazu die nebenstehende Zeichnung.
  • Entwickelt experimentell und / oder unter Verwendung eurer Theorie ein Sekundenpendel.
6.2 Aufgaben zur Variation der Flüssigkeitskomponenten
Es scheint auf der Hand zu liegen, dass die Art der Flüssigkeit einen Einfluss auf die Schwingungsdauer hat.
Um dies zu prüfen, müsst Ihr Messungen an Flüssigkeiten mit unterschiedlichen Eigenschaften durchführen.
Wie Ihr oben schon festgestellt habt, bestimmen Dichte und Zähigkeit die Eigenschaft der Flüssigkeit. Zieht man als Auswahlkriterien zusätzlich die leichte Herstellbarkeit, das Gesundheitsrisiko und das Reinigen des U-Rohrs heran, dann bieten sich Zuckerlösungen in unterschiedlichen Konzentrationen zum Experimentieren an.
  • Erzeugt mehrere Zuckerlösungen in verschiedenen Konzentrationen: Sinnvoll sind Konzentrationswerte zwischen 0,5 : 1 und 2 : 1 (Zuckereinwaage [g] : Wassermasse [g]). Die fertigen Lösungen solltet Ihr in beschrifteten Schraubgläsern aufheben, da sie noch mehrmals gebraucht werden.
  • Messt die Dichte der Lösungen. Informiert euch vorher, wie dies zu machen ist.
  • Bestimmt experimentell die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Konzentration der Zuckerlösungen und macht eine Aussage über die auftretenden Messungenauigkeiten. Wichtig ist, dass Ihr die Zuckerlösungen jeweils wieder in den entsprechenden Behälter zurück gießt und das U-Rohr gut mit reinem Wasser ausspült.
7. Informationen zur Schwingungsamplitude PIC3
Bei den ersten Messungen am U-Rohr habt Ihr festgestellt, dass die Amplitude der Schwingung mit der Zeit abnimmt. Man nennt diese Schwingung auch gedämpfte Schwingung. In der nebenstehenden Abbildung (aus Literatur [1]) seht Ihr ein Beispiel, wie sich die Amplitude einer Flüssigkeitsschwingung mit der Zeit verringert, die zu Beginn um den Wert x ausgelenkt wurde.
Der Grund für die Amplitudenabnahme der Schwingung ist die Reibung der Flüssigkeit an der Rohrwand und in sich selbst. Durch Reibung geht Schwingungsenergie verloren, die Amplitude der Schwingung wird gedämpft. Je nach Grad der Dämpfung kann man drei Fälle unterscheiden:
  1. Schwache Dämpfung (Schwingfall)
    Die Bewegung der Flüssigkeitssäule enthält genügend Energie, um eine Schwingbewegung d.h. mehrere Nulldurchgänge durchzuführen bzw. Amplituden einzunehmen. Die Amplituden der Schwingung verringern sich, bis die Ruhelage letztendlich eingenommen wird.
  2. Mittlere Dämpfung (aperiodischer Grenzfall)
    Die Reibung ist gerade so groß, dass die Flüssigkeitssäule nach der anfänglichen Auslenkung innerhalb der ersten Schwingung wieder die Ruhelage einnimmt. Der Endwert wird von allen drei Fällen am schnellsten erreicht.
  3. Starke Dämpfung (Kriechfall)
    Die Flüssigkeitssäule wird durch die Reibung so stark gebremst, dass keine Schwingung auftritt. Die Flüssigkeit kriecht von der ersten Auslenkung aus langsam in die Ruhelage.
7.1 Aufgaben zur Schwingungsamplitude
  • Messt die Amplituden der Schwingung für mehrere Schwingungsdurchgänge jeweils im Hoch- und im Tiefpunkt an einem Schenkel des U-Rohrs. Verwendet dazu reines Wasser.
  • Stellt die gemessenen Amplituden als Funktion der Zeit grafisch dar und beschreibt das Ergebnis qualitativ. Hinweis: Verwendet dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm, z. B. Microsoft Excel mit der Diagrammfunktion. Bedenkt bitte, dass MS - Excel nur ganze Werte auf der Ordinate abbilden kann. Wie könnt Ihr das Problem umgehen?
  • Macht eine Aussage über die Ungenauigkeit eurer Messung.
  • Führt Amplitudenmessungen an euren vorbereiteten Zuckerlösungen durch.
  • Bei welchem Zucker-Wasserverhältnis stellt sich der aperiodische Grenzfall ein. Nähert euch diesem Wert experimentell an.
  • Wie kann man den Kriechfall realisieren?
8. Energiebetrachtungen an der U-Rohr-Schwingung
Eine harmonische Schwingung entsteht, wenn - wie in der Einleitung bereits erläutert - in einem System ortsabhängige, rücktreibende Kräfte vorhanden sind. Beim U-Rohr-Schwinger ist die Schwerkraft als rücktreibende Kraft im Spiel. Nach Anregung der Schwingung wandelt sich mehrfach potenzielle Energie der Flüssigkeitssäule in Bewegungsenergie um und umgekehrt. Bei jeder Schwingung geht ein Teil dieser Energie durch Reibung verloren.

8.1 Aufgaben zu den verschiedenen Energieformen der U-Rohr-Schwingung
  • Beschreibt die treibenden und hemmenden Kräfte der Flüssigkeitsschwingung.
  • Wodurch wird bei der gedämpften Schwingung die Amplitudenabnahme verursacht?
  • Ermittelt aus dem Amplituden-Zeit-Diagramm die Dämpfungskonstante. Dazu bildet Ihr zunächst den natürlichen Logarithmus aus den Amplitudenverhältnissen An : A1 (An = gemessene Amplitude, A1 = Anfangsamplitude). Dann stellt diese Werte als Funktion der Zeit grafisch dar und bestimmt deren Steigung. Ihr könnt das Logarithmisieren sparen, wenn Ihr spezielles Zeichenpapier verwendet, bei dem die y-Achse logarithmisch eingeteilt ist.
  • Beschreibt qualitativ die unterschiedlichen Energieformen der Flüssigkeitsschwingung.
  • Welcher zeitliche Zusammenhang besteht zwischen der potentiellen Energie, den Kräften und den Geschwindigkeiten?
  • Könnt Ihr die Verlustenergie, die aus der Dämpfung resultiert, für zwei aufeinander folgende Amplituden berechnen?
9. Informationen zur Strömungsform
Für ein strömendes Medium im Rohr gibt es grundsätzlich die "laminare", die "turbulente" und "periodische" Strömungsform.
Das Kennzeichen einer laminaren Strömung ist ein gleichmäßiges Geschwindigkeitsprofil über die ganze Rohrlänge hinweg. Senkrecht dazu, d.h. auf dem kreisförmigen Querschnitt des Rohres ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen am Rand des Rohres nahezu gleich null und in seinem Mittelpunkt maximal. Ursache dieses Profils ist die Zähigkeit oder Viskosität der Flüssigkeit. Die Viskosität beschreibt, wie stark sich ein fließendes Medium unter der Wirkung einer Kraft verformt. Teer oder Honig haben große Viskositätswerte, Wasser oder Gase wie beispielsweise Luft dagegen niedrige. Im Teilchenmodell kann die Viskosität auf Anziehungskräfte oder allgemein Wechselwirkungen zwischen den Molekülen zurückgeführt werden.
Kennzeichen einer turbulenten Strömung sind ungleichmäßige Wirbelbildungen in der Flüssigkeit, die von kleinen Störungen am Rohrrand oder im Strömungsquerschnitt ausgehen. In der Natur bildet jeder Wildbach eine turbulente Strömung aus. Turbulenz setzt erst ab einer bestimmten Grenzgeschwindigkeit ein, wobei in den Wirbeln Strömungsenergie gespeichert wird. Diese "Wirbelenergie" steht der Schwingung nicht mehr zur Verfügung, das turbulent schwingende System ist daher stärker gedämpft als das laminare. Durch Aufschaukelprozesse kann eine turbulente Strömung chaotisch werden; ihr Verhalten ist dann nur noch schwer vorhersagbar.
Der englische Physiker Osborne Reynolds hat Ende des 19. Jahrhunderts an Strömungen wichtige Entdeckungen gemacht. Er stellte fest, dass sich das Verhalten aller Strömungen mit Hilfe einer einzigen dimensionslosen Zahl beschreiben lässt, der nach ihm benannten Reynoldszahl Re. Sie ist ein Maß dafür, ob zufällige kleine Störungen zu Wirbeln und Turbulenzen anwachsen oder wieder abklingen. Für die Strömung von Flüssigkeiten in Rohren mit kreisförmigem Querschnitt gilt: Re = ρ di v / η. Man erkennt, dass bei gegebener Dichte ρ des Fluids und gegebenen Durchmesser di des Rohres die Reynolds-Zahl mit wachsender Geschwindigkeit v und abnehmender Viskosität η zunimmt. Sobald die Reynolds-Zahl einen kritischen Wert Rec überschreitet, kann eine vorher laminare Strömung turbulent werden. Die kritische Reynoldszahl beträgt für eine Strömung im Rohr Rec = 2320. Durch Umstellen der Formel lässt sich die kritische Geschwindigkeit vc bestimmen, ab der mit Turbulenz zu rechnen ist.
Bei der periodischen Strömung kommt neben dem örtlichen Geschwindigkeitsprofil eine zeitliche Änderung hinzu: Der Betrag der Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt in der Flüssigkeit nimmt innerhalb fester Zeitintervalle zu und wieder ab. Im Fall der Flüssigkeitssäulenschwingung im U-Rohr verändert sich die Geschwindigkeit des Fluids von Null in den Umkehrpunkten (unten, oben) zu einem maximalen Wert in der Mitte des Schwingungsweges (Nulldurchgang).

9.1 Aufgaben zur Strömungsform der Schwingung
  • Wie könnte man die Strömungsform im U-Rohr sichtbar machen?
  • Berechnet die Grenzgeschwindigkeit für die U-Rohrschwingung, bei der eine laminare in eine turbulente Strömung übergeht. Es gilt Rec = ρ di vc / η mit ρ = 1000 kg/m³ (Dichte Wasser), di = 0,016 m (Innendurchmesser des Rohres) und η = 0,001 kg/s m (Viskosität von Wasser).
  • Wie groß darf demnach die maximale Auslenkung der Schwingung gewählt werden, wenn die Flüssigkeit laminar strömen soll? Hinweis: Messt die mittlere Geschwindigkeit $lt;v> der Rohrströmung und bestimmt daraus die Maximalgeschwindigkeit vc = vmax = π / 2. Theoretiker können diesen Zusammenhang beweisen.
  • Berechnet vc für die verschiedenen Zuckerlösungen und für den Fall einer laminaren Strömung die maximal mögliche Anfangsamplitude. Benutzt für die Viskosität Literaturdaten. Können damit eventuell mehrere Schwingungen beobachtet werden?
  • Aus euren Messungen könnt Ihr die Viskositätswerte der Zuckerlösungen auch abschätzen, indem Ihr die Dämpfungskonstante γ benutzt. Die Theorie für laminare Strömungen (Hagen-Poiseuille-Gleichung) setzt die Dämpfungskonstante in Beziehung zu den Kenngrößen Dichte, Viskosität und Rohrdurchmesser. Es gilt: γ = 16 * η / ρ * di2. Führt diese Berechnungen durch und vergleicht mit den Literaturangaben.
10. Informationen zur angeregten Schwingung
Mit dem Motor, dem Pleuel-Getriebe (es wandelt eine Drehbewegung in eine lineare Bewegung um) und der Luftpumpe kann die Flüssigkeitssäule nicht nur einmalig, sondern periodisch ausgelenkt werden. Dabei wird das Luftvolumen im angekoppelten U-Rohr komprimiert und übt auf die Flüssigkeitssäule Druck aus. Die Umdrehungszahl des Motors kann durch Verändern der Motorspannung in einem ausreichenden Bereich variiert werden. Die Flüssigkeitssäule lässt sich mit einstellbarer Schwingungsdauer bzw. Frequenz anregen.
Variiert man die Frequenz der Anregung, dann antwortet das Schwingsystem mit unterschiedlicher Amplitude. Diese hat bei der Eigenfrequenz des Systems ein Maximum. Man spricht dann von Resonanz. Die im System gespeicherte Energie ist im Resonanzfall am größten. Das Verhältnis von gespeicherter Energie zur Verlustenergie nennt man Güte Q des schwingungsfähigen Systems.

10.1 Aufgaben zur angeregten Schwingung
  • Messt die Umdrehungszahl (pro Minute) des Motors in Abhängigkeit von seiner Betriebsspannung und erstellt ein Diagramm, bei dem die Motorfrequenz als Funktion der Motorspannung dargestellt wird.
  • Regt im wassergefüllten U-Rohr Schwingungen mit verschiedenen Motordrehzahlen an. Erstellt ein Amplituden-Frequenz-Diagramm. Bei welcher Frequenz stellt sich Resonanz ein? Bestimmt die Motorspannung für den Resonanzfall.
  • Erstellt weitere Amplituden-Frequenz-Diagramme für die verschiedenen Zuckerlösungen.
  • Könnt Ihr für jede Zucker-Wasser-Konzentration die Resonanz finden?
  • Beschreibt qualitativ für Wasser den zeitlichen Verlauf (Phasenbeziehung) zwischen Anregung und Schwingsystem. Dazu notiert Ihr im Umkehrpunkt der Flüssigkeitssäule die Stellung des Excenterrades für eine niedrige und eine hohe Frequenz sowie für den Resonanzfall.
  • Bestimmt die Güte des Systems für reines Wasser und für die verschiedenen Zuckerlösungen. Benutzt dazu folgende Formel: Q = &omegao / γ.
  • Verändert die Kopplung zwischen Anregung und getriebenem System, indem Ihr den inneren Schlauch reinschiebt bzw. rauszieht. Was stellt Ihr fest?
11. Literatur
  1. Bergmann; Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik de Gruyter: Berlin; New York Band 1: Mechanik, Relativität, Wärme - 1998, 11. Auflage, ISBN 3-11-012870-5
  2. Walter Greiner, Herbert Diehl: Theoretische Physik, Ein Lehr- und Übungsbuch für Anfangssemester Band 1: Mechanik Verlag: Harry Deutsch, Zürich, 1974, ISBN: 3-87144-183X
  3. Rosskopf, Fritz, Studien über die Viskosität von Zuckerlösungen Dissertation an der TU Braunschweig , Naturwissenschaftlich-Philosophische Fakultät 7.3.1960, Deutsche Bibliothek Signatur: SD9 / 828