Kurvendiskussion

Man sucht Nullstellen für die Gleichung 3.Grades (d1):

Keine Angabe

Die zugehörige Funktion ist vom Typ (d2):

Keine Angabe

für die Unbekannte Sv

mit (d3):

a = 1,

und (d4):

Keine Angabe

sowie (d5):

Keine Angabe


Die Funktion ist 3. Grades, sie verläuft von - ∞ nach + ∞ und hat maximal 3 Nullstellen, 2 Extrema und einen Wendepunkt.

Extremwerte erhält man durch die erste Ableitung (d6):

Keine Angabe

Mit der Bedingung f(Sv) = 0 ergibt sich (d7):

Keine Angabe

Ein Extremwert liegt bei Sve1 = 0 mit (d8):

Keine Angabe

Da die Kurve von - ∞ zu einem positiven Extremum bei Sv = 0 aufsteigt, liegt die erste Nullstelle bei negativen Sv-Werten (vgl. Abb. 27 weiter unten).

Das andere Extremum liegt bei (d9):

Keine Angabe

mit (d10):

Keine Angabe

Den Wendepunkt Svw erhält man durch die 2. Ableitung mit der Bedingung (d11):

Keine Angabe

und (d12):


Keine Angabe ,

bei dem Wert (d13):

Keine Angabe

und (d14):

Keine Angabe

Svw liegt zwischen Sve1 und Sve2 und f(Sve2) ist negativ.
Demnach befinden sich die letzten beiden Nullstellen links und rechts vom zweiten Extremwert.Die folgende Grafik zeigt den Verlauf der Funktion.

Keine Angabe

Abb. 27: Graph der Funktion f(Sv)

Die Nullstellen habe ich mit dem Programm Mathematika® bestimmt. Sie stellen mögliche Lösungen für den Venusweg dar.

Nullstellen:
Sv1 = -3,463*108 m
Sv2 = 6,144*108 m
Sv3 = 7,934*108 m

Die Lösung Sv1 = -3,463*108 m stellt eine Planetenbahn mit dem 3-fachen Sonne-Erde-Abstand dar, auf der sich der Planet gegensinnig zur Erde mit etwa halber Bahngeschwindigkeit bewegen würde (die Bahngeschwindigkeit erhält man, indem man die ermittelten Sehnen Svx durch die Zeitspanne Δt = 20 618 sec teilt).

In unserem Sonnensystem sind nur die positiven Werte Sv2 und Sv3 realisiert. Bei der Lösung Sv2 handelt es sich um die Geschwindigkeit der Erde mit Ve = 29,799 km/sec und bei Lösung Sv3 um die gesuchte Bahn der Venus.
Teilt man die Strecke Sv3 durch die oben genannte Zeitspanne Δt = 20 618 sec, so erhält man die gesuchte Bahngeschwindigkeit der Venus mit Vv = 38,48 km/sec.

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